Berechne folgendes Kreisbogenvieleck

Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt der grün markierten Figur.

Aufgabe 1 - Flächeninhalt einer Figur

Lösung

Teilstücke Zunächst ist zu klären, aus welchen Teilstücken sich die Figur zusammensetzt.
Hilfslinien Durch das Einzeichnen der Hilfslinien AM1, BM1 und AB kann abgelesen werden:

A1: Sektor, Mittelpunkt M1, Radius 2r, Mittelpunktswinkel 90°

A2: Sektor, Mittelpunkte M2 und M3, Radius r, Mittelpunktswinkel 180°

Man erhält für die gesuchte Fläche A:

A=A1-2·A2+A3

Flächen Allerdings hat man so die mit A3 bezeichnete Fläche 2-mal subtrahiert, da sie in beiden mit A2 bezeichneten Flächeninhalten enthalten ist; diese Fläche ist demnach 1-mal dem Ergebnis zuzuschlagen:

A=A1-2·A2+A3+A3

A=A1-2·A2+2·A3

Flächen 2 Die Strecke M1C teilt A3 in zwei gleich große Teile. Beide Teile setzen sich folgendermaßen zusammen:

A4: Sektor, Mittelpunkt M3 bzw. M2, Radius r, Mittelpunktswinkel 90°

A5: Dreieck M1M3C bzw. M2M1C, Grundseite = Höhe = r

Es ist:
A3=2·(A4-A5)

und damit:

A=A1-2·A2+2·2·(A4-A5)

A=A1-2·A2+4·(A4-A5)

Berechnung

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