Vielfache und Teiler

Teiler einer Zahl

Wenn man eine Zahl a durch eine Zahl b ohne Rest dividieren kann, dann ist a durch b teilbar.
Man sagt dann auch: b ist Teiler von a

Beispiel:	6 ist Teiler von 18, denn 18:6=3 Rest 0
	6 ist nicht Teiler von 17, denn 17:6=2 Rest 5

Um zu untersuchen, ob eine Zahl b Teiler einer zweiten Zahl a ist, gibt es einige Regeln:

1. Summen- (Differenz-)regel

Wenn eine Zahl zwei andere Zahlen teilt, dann teilt sie auch die Summe bzw. die Differenz dieser Zahlen.

Beispiel:	6 ist Teiler von 18 und 6 ist Teiler von 720. Also ist 6 auch Teiler von 720+18=738.
	6 ist Teiler von 720, aber 6 ist nicht Teiler von 17. Also ist 6 auch nicht Teiler von 720+17=737.
	7 ist Teiler von 700 und 7 ist Teiler von 21. Also ist 7 Teiler von 700-21=679.
	7 ist Teiler von 1400 und 7 ist nicht Teiler von 15. Also ist 7 nicht Teiler von 1400-15=1385.

Um mit Hilfe dieser Regel zu untersuchen, ob eine Zahl a Teiler einer Zahl b ist, zerlegt man die Zahl b so in eine Summe oder Differenz, dass man von beiden Summanden bzw. von Minuend und Subtrahend leicht feststellen kann, ob a Teiler beider Summanden ist. Wenn dies der Fall ist, ist a Teiler von b, sonst nicht.
Bei der Zerlegung in eine Summe oder Differenz muss man unbedingt beachten, dass mindestens einer der beiden Summanden bzw. der Minuend oder der Subtrahend ganz sicher durch a teilbar ist.

Beispiel:	Ist 8 Teiler von 2464? Man zerlegt 2464 in eine geeignetet Summe, z.B.: 2464=2400+64 Da 8 Teiler von 2400 und von 64 ist, ist 8 auch Teiler von 2464.
	Ist 15 Teiler von 1475? Man zerlegt 1575 in eine geeignete Differenz, z.B.: 1475=1500-25 Da 15 Teiler von 1500, aber nicht Teiler von 25 ist, ist 15 nicht Teiler von 1475

Achtung: Der Umkehrschluss (Eine Zahl a ist nicht durch eine Zahl b teilbar, wenn man b so zerlegen kann, dass keiner der Summanden Teiler von a ist) gilt nicht!
Beispiel: Es ist 14=9+5. Obwohl weder 9 noch 5 durch 7 teilbar ist, ist aber 14 durch 7 teilbar.

2. Teilerregel

Wenn eine Zahl a Teiler einer Zahl b ist, dann ist auch jeder Teiler von a Teiler von b.

Beispiel:

Da 12 Teiler von 144 ist, sind auch alle Teiler von 12, also 1; 2; 3; 4; 6 Teiler von 144.

3. Endstellenregeln

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 5 oder eine 0 ist.

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine gerade Ziffer ist

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl darstellen

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl darstellen.

Beispiel:

Durch welche der Zahlen 2, 4, 5, 8, 10 ist 13740 teilbar?

13740 ist durch 2 teilbar, weil die letzte Ziffer eine gerade Ziffer ist.
13740 ist durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl, nämlich 40, darstellen.
13740 ist durch 5 teilbar, weil die letzte Ziffer eine 0 ist.
13740 ist nicht durch 8 teilbar, weil die letzten drei Ziffern keine durch 8 teilbare Zahl darstellen.
13740 ist durch 10 teilbar, weil die letzte Ziffer eine 0 ist.

4. Quersummenregeln

Eine Zahl ist durch 3 teibar, wenn ihre Quersumme (also die Summe aller Ziffern der Zahl) durch 3 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 9 teibar, wenn ihre Quersumme (also die Summe aller Ziffern der Zahl) durch 9 teilbar ist.

Beispiel:	Durch welche der Zahlen 3 und 9 ist 13740 teilbar?
	13740 ist durch 3 teilbar, weil ihre Quersumme (1+3+7+4+0=15) durch 3 teilbar ist. 13740 ist nicht durch 9 teilbar, weil ihre Quersumme (1+3+7+4+0=15) nicht durch 9 teilbar ist.